Résumé : Le problème de relèvement de revêtements de courbes demande quels revêtements de courbes projectives lisses définies sur un corps de caractéristique positive proviennent par réduction de revêtements Galoisiens du même groupe en caractéristique nulle. Cette question a été étudié depuis l'introduction de la théorie des schémas dans les années '60 et présente encore aujourd'hui des fascinants problèmes ouverts, la dernière étape importante étant la preuve de la conjecture de Oort par Pop, Obus et Wewers en 2012. Le but de cet exposé est de présenter ce problème en expliquant les techniques principales utilisés jusqu'à maintenant, de discuter les principales questions qui restent encore ouvertes, et d'introduire un nouveau point de vue sur le sujet, faisant intervenir la théorie des espaces analytiques non-Archimédiens à la Berkovich.