XLIM :: DMI :: Colloquium

La géométrie associée à un groupe fini ; application au calcul efficace de résolvantes de Lagrange sans facteur carré.

2010-05-19

Soit un sous-groupe fini d'un groupe général linéaire sur un corps de caractéristique zéro. Nous proposons un cadre général pour calculer efficacement dans l'algèbre des polynômes invariants sous ce sous-groupe. Le lemme de normalisation de Noether apparaît ici naturellement, et nous en étudions sa transcription géométrique. Il convient alors de traiter les polynômes en les variables libres comme des calculs d'évaluation plutôt qu'en écriture. Ceci aboutit à un gain de complexité. Comme illustration nous donnons un algorithme symbolique de calcul de résolvantes de Lagrange, génériques ou spécialisées, et en particulier dans ce dernier cas nous en trouvons sans facteur carré.

Prédiction et jeux procédures consistantes en temps discret et continu

2010-03-23

Résumé : Le but de l'exposé est de présenter des procédures sequentielles de « prévision » ayant de bonnes propriétés par rapport aux données. On montrera comment une approche en temps continu peut aider a résoudre le problème en temps discret et on présentera le lien avec des questions de théorie des jeux.

Relations de Plucker et bases de Grobner

2009-09-30

De l'intégration p-adique à l'intégration motivique

2009-06-10

On commencera par présenter deux situations, le comptage de sous-groupes d'indice fini et la géométrie birationnelle, dans lesquelles l'utilisation de l'intégration p-adique a eu des conséquences inattendues. On expliquera comment l'utilisation de l'intégration p-adique en géométrie a donné naissance à l'intégration motivique. Enfin, on bouclera la boucle en donnant des exemples d'application de l'intégration motivique aux intégrales p-adiques.

Périodes de Kontsevitch-Zagier

2009-05-13

Les périodes de Kontsevitch-Zagier sont des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sont des valeurs d'intégrales absolument convergentes de fonctions rationnelles avec des coefficients rationnels, sur des domaines de Rⁿ définis par des égalités ou des inégalités polynomiales (sur des ensemble semi-algébriques donc) ayant des coefficients rationnels. Tout nombre algébrique est un période. Les périodes on une structure intéressante qui depuis le papier originel de 2001 de Kontsevitch et Zagier fait l'objet d'une étude captivante.

Le rôle des conjectures dans l'avancement des mathématiques

2009-01-14

A l'aide d'exemples de problèmes ouverts ou de conjectures pris dans les domaines de l'Analyse non linéaire, l'Optimisation ou le Calcul matriciel, - mais compréhensibles par le commun des mathématiciens professionnels- , j'essaierai d'illustrer le rôle que peuvent jouer les conjectures dans l'avancement des mathématiques, et au-delà dans l'avancement des sciences.

Au carrefour de l'algèbre, la combinatoire et la physique : une petite histoire de la mystérieuse suite 1, 2, 7, 42, 429, ...

2008-11-19

Au début de ce siècle, les physiciens Razumov et Stroganov ont fait apparaître cette séquence de nombres entiers dans des modèles de "chaînes de spin quantique". Cette séquence était connue également par les combinatoristes comme dénombrant diverses classes d'objets : matrices à signes alternants, partitions d'entiers en 3D, pavages d'hexagones sur un réseau triangulaire. Depuis une trentaine d'années, ces objets ont fait l'objet de recherches intensives, des formules d'énumération d'une simplicité désarmante sont restées longtemps conjecturées. Mais beaucoup reste à faire, en particulier "comprendre" ces formules ainsi que le lien avec les chaînes de spin.

Aucune connaissance particulière n'est requise pour cette conférence. Je ferai une courte introduction à la combinatoire énumérative et terminerai par une approche algébrique récente avec opérateurs et règles de commutation.

Interval Constraints and Application to Virtual Camera Control

2008-06-11

In computer graphics, progress in modeling, animation and rendering means that rich, high fidelity interactive virtual worlds are now commonplace. But as photographers and cinematographers know, achievement of the intended informational and aesthetic goals is highly dependent on the position and motion of the camera in relation to the elements of the scene.
In this talk, we explore a number of models and techniques that we have proposed in order to assist the control of a camera in a virtual 3D environment. In particular, we emphasize the use of interval constraint techniques for computing camera configurations and paths both in declarative and interactive frameworks.
We will first concentrate on the problem of declarative camera planning. Camera planning in computer graphics can be considered as a specific complex instance of the classical PSPACE-hard path-planning problem. We will show how interval constraint techniques can be used to provide reliable and guaranteed solutions in a declarative framework and then propose the integration of semantics in the solving process that lays the groundwork for further high-level interactive approaches.

We then will concentrate on the problem of interactive virtual cinematography. Virtual cinematography consists in positioning, in a 3D scene, the three major components of cinematography (characters, camera, lights) in order to achieve given intended objectives (informative, cognitive, aesthetic). Here we demonstrate how interval constraint techniques can be used to directly manipulate composition by relying on the Through-the-lens interaction metaphor extended to object and light manipulation.

Complex issues pertaining to properties such as occlusion will be explored and discussed. We will finally open the discussion on the necessity of enforcing high level properties that require a better understanding of the users, together with their perception and cognitive model of the scene (space, time and causality relations), which makes virtual camera control a key area for interdisciplinary research.

Aspects géométrique des systèmes intégrables

2008-04-23

Analyse algébrique et analyse microlocale

2008-02-06

Pierre Schapira est l'auteur de nombreux travaux de recherche et de monographies sur l'application des méthodes algébriques abstraites à l'analyse (catégories, faisceaux perverts, modules, ...). Il nous donnera sûrement un point de vu dont nous n'avons pas l'habitude sur l'analyse.

Calcul algébrique en plusieurs variables

2007-10-10

Les systèmes de calcul formels ne fournissent pas d'outils spécifiques au calcul en plusieurs variables (mis à part les bases de Gröbner). Cependant, lorsque les fonctions sont symétriques, on connaît depuis longtemps des objets combinatoires (partitions, tableaux de Young) qui permettent de manipuler ces fonctions sans avoir besoin de les développer. Ces méthodes classiques peuvent être étendues au cas non symétrique, en utilisant différentes actions du groupe symétrique, ou des groupes classiques, sur l'anneau des polynômes (et en particulier les différences divisées de Newton). On obtient ainsi les polynômes de Schubert, Grothendieck, Macdonald qui trouvent des applications dans différents domaines des mathématiques.

Stabilité des points d'équilibre : Applications aux jeux, inequations variationelles, etc.

2007-06-29

On explore une notion de convergence pour les bifonctions qui engendre la convergence des leurs points max-inf (ou leurs points min-sup). Cela nous permet d'étudier, par exemple, la stabilité des solutions d'inéquations variationelles, des points d'équilibre de Nash pour jeux non-coopératifs, de points fixes, des équilibres de Walras.

Fonctions sur le points entiers dans un polytope

2007-03-28

La formule d'Euler-MacLaurin exprime la somme des valeurs d'une fonction sur la droite réelle aux points entiers d'un intervalle [A,B]. Elle s'exprime en fonctions des polynomes de Bernoulli et a de multiples applications.Plus generalement, en commun avec Nicole Berline, j'ai donné une formule d'Euler-MacLaurin "calculable" exprimant la somme des valeurs d'une fonction polynomiale sur les points entiers d'un polytope convexe dans $\R^d$ a sommets rationnels. J'expliquerais comment on peut programmer ce calcul en temps polynomial lorsque les dimensions du polytope et le degré du polynome sont fixes. Je donnerais des exemples sur un grand triangle !

Arbres aléatoires et applications

2007-03-14

De nombreux travaux récents étudient les limites continues
d'arbres aléatoires discrets. Ces arbres discrets peuvent être définis soit de manière combinatoire (arbre choisi au hasard parmi tous les arbres à n sommets d'un certain type) soit de manière probabiliste (en donnant la loi de probabilité du "nombre d'enfants" de chaque sommet de l'arbre).
Un passage à la limite quand le nombre de sommets l'arbre tend vers l'infini et simultanément la longueur de chaque arête tend vers 0 conduit à des arbres aléatoires continus dont le prototype est le Continuum Random Tree (CRT) introduit par Aldous. L'exposé décrira la manière dont ces arbres continus sont définis et en quel sens ils sont limites des arbres discrets. Dans la mesure du temps disponible on discutera aussi quelques applications.

Sémantiques pour un langage de programmation impératif

2007-02-23

Le langage IMP est un langage de programmation impératif minimal", présenté de façon détaillée dans le livre"The Formal semantics of programming languages"
de G. Winskel. A partir de ce livre et de travaux en cours avec J.-G. Dumas et J.-C. Reynaud, je présenteraila syntaxe et plusieurs sémantiques (équivalentes)
pour ce langage.

K-théorie et applications arithmétiques

2007-01-10

La K-théorie a été inventée par Alexander Grothendieck en 1957. Elle a donné lieu à un développement considérable durant les 50 dernières années avec des applications dans des domaines très variés des mathématiques. Dans cet exposé, on commencera par les définitions de base avec de nombreux exemples extraits de la topologie algebrique, de la géométrie algébrique et des algèbres d'opérateurs. Dans un deuxième temps, on donnera un aperçu des applications que Thierry Lambre et moi-même avons découvertes en théorie des nombres : borne inférieure du groupe des classes d'idéaux, relation avec des equations diophantiennes.

Approximations adaptatives par algorithmes de poursuite

2006-12-13

Dans cet exposé on s'intéresse au problème fondamental suivant : approcher au mieux une fonction arbitraire par une combinaison de N fonction sélectionnée de façon optimale au sein d'un dictionnaire. Plusieurs algorithmes sont proposés et leur convergence est étudiée. Les applications de ce travail se situent dans des domaines variés tels que la compression du signal et de l'image, la théorie de l'apprentissage, les problèmes inverses et la simulation numérique.

Sur la structure des points fixes d'opérateurs non-expansifs

2006-11-22

Objectifs et méthodes des mathématiques constructives

2006-05-31

Les mathématiques constructives ont plusieurs objectifs qu'on peut décrire rapidement comme suit :

1) donner une sémantique claire pour (une grande partie de) les maths classiques
2) établir de manière sure (une grande partie de) les théorèmes des maths classiques
3) rétablir le contenu calculatoire que les mathématiques ont perdu avec la sémantique cantorienne moderne.
On peut comprendre ceci comme "donner raison à Kronecker contre Dedekind" ou encore "réaliser le programme de Hilbert relu du point de vue constructif" (le programme de Hilbert était formulé d'un point de vue ultra finitiste et a été, sous cette forme, invalidé par Godel).
De manière plus immédiate, les maths constructives peuvent être comprises comme les mathématiques qui permettent une théorie "abstraite" correcte du calcul formel (l'abstraction ici consiste à ne pas se préoccuper des questions de complexité, mais uniquement des questions d'effectivité théorique).
L'écart entre les maths classiques et les maths constructives est moins important qu'on peut le supposer au premier abord.
Par exemple la théorie constructive des types de Martin-Lof devient équivalente à ZF si on lui rajoute le tiers exclu.
Par ailleurs l'axiome du choix implique le tiers exclu.
Les maths constructives ont connu une renaissance avec le livre de Bishop en analyse constructive, les travaux de Seidenberg et Richman en algèbre constructive.
Ces travaux ont montré que, contrairement à ce que croyait Hilbert, Cantor n'est pas le paradis, et Brouwer n'est pas l'enfer.
Aujourd'hui, de nouvelles méthodes sont développées pour attaquer de manière uniforme les problèmes posés par le recours au tiers exclu et à l'axiome du choix en maths classiques.
Des succès importants ont été obtenus dans le domaine de l'algèbre abstraite, ouvrant la voie à de nouvelles branches pour le calcul formel.

Les séries formelles algébriques en combinatoire énumérative.

2006-04-05

Contrôlabilité de systèmes quantique

2006-03-01

Jacques-Arthur, qui connait l'orateur décrit en quelques mots quelques très bonnes raisons de venir écouter ce colloquium : Pierre Rouchon est professeur à l'école des mines de Paris, où il travaille en théorie du controle et systèmes dynamiques. Chercheur curieux et éclectique, ses réalisations vont de mathématiques sophistiquées à des réalisations pratiques (construction de robots confirmant ses affirmations) au Centre Automatique et Systèmes de l'école des mines. Ses exposés sont souvent spectaculaires, marqués par un beau sens du spectacle au service d'idées profondes. Sans aucun doute, un exposé à ne pas rater.

Modèles non linéaires de membranes et de câble pour la protection du milieu marin lors de pollutions accidentelles par hyfrocarbures

2006-02-08

On the asymptotic behavior of solutions of linear differential and difference equations

2005-12-07

A fundamental result of N. Levinson concerning the asymptotic integration of linear differential systems has been shown to play a central role in unifying and extending the theory. This theme will be explained and it will be shown how this had lead in recent years to many improvements. Some analogous results in the asymptotic theory of linear difference equations will also be presented.

Le rôle des conjectures dans l'avancement des mathématiques : exemples.

2005-06-20

Algorithmes de la géométrie algébrique réelle: résultats récents et problèmes ouverts

2005-04-27

On décrira quelques progrès récents concernant les algorithmes permettant de compter ou d'isoler les racines dans le cas des polynômes en une variable, qui éclairent sous un jour nouveau des résultats classiques de Budan-Fourier ou de Sturm. On expliquera ce qui est connu concernant la complexité de problèmes topologiques (calculs de composantes connexes, de nombreux de Betti, ... ) et terminera par quelques problemes ouverts (caluls de stratification, Positivstellensatz)

Conditions de croissance de Macaulay

2005-03-30

Macaulay a donné une caractérisation numérique des fonctions de Hilbert des algèbres graduées
sur un corps qui sont le quotient d'un anneau de polynômes. Cependant cette caractérisation,
qui s'exprime en termes de développement binomial, est difficile à utiliser dans la pratique.
On en donnera une forme permettant de faire une itération sur le nombre de variables, et on fera
le lien avec des questions algébriques et géométriques.

Optimisation de formes par la méthode des courbes de niveaux

2005-03-02

Dans le cadre de l'optimisation de structures élastiques, on introduira la méthode des courbes de niveaux, illustrée par de nombreux résultats numériques montrant son efficacité pour traiter une grande variété de problèmes de ce type. On tentera de faire le lien avec les problèmes d'optimisation de formes qui peuvent se poser au sein du laboratoire XLIM

Puissances parmi les nombres de Fibonacci

2004-11-25

This is the first in a series of papers whereby we combine the classical approach to exponential Diophantine equations (linears forms in logarithms, thue equations, etc) with a modular approach based on some of the ideas of the proof of Fermat's Last Teorem. In this paper we give new improved bounds for linear forms in three logat-rithms. We also apply a combination of classical techniques with th modular approach to shox that the only perfect powers in the Lucas sequence are 1 and 4.

Circuits positifs et multistationarité

2004-06-09

Despite their highly specialized characteristics, each of the more than 250 distinct kinds of cells in the human body carries an identical copy of the DNA.Hence, a fundamental task of biology is to understand cell differentiation Ð what it is that makes a neuron so different from a blood cell, and how these differences come to be. As early as 1948,Max Delbrück suggested that since identical DNA does not imply identical patterns of gene expression, cell differentiation in humans or in any other organism might be associated with the existence of distinct states of expression in the genetic regulatory networks of the cell. Each type of cell would then correspond to a distinct "attractor" in the dynamics of the network of interacting genes and proteins, and the process of differentiation would involve the transition of the cell from one such state to another. Following this picture, a principal aim of modern molecular biology is to elucidate the nature of development by exploring the dynamics of gene regulatory networks at the systems level. A gene, when expressed, leads to the production of proteins that can act to either activate or inhibit the expression of other genes. Within networks of such interacting genes and proteins, feedback loops play a central role in controlling the dynamics, and biologists have for many years recognized that negative feedback loops frequently help to stabilize gene expression. In the simplest case, for example, the protein product of a gene may act to inhibit the synthesis of that very gene. In this case, as the concentration of the protein increases, it will ultimately turn off its own synthesis. What about positive feedback loops? In a positive feedback loop, the expression of some gene leads to a cascade of cause and effect that eventually feeds back to trigger a further increase in its expression, which then, in turn, triggers a still further increase. In the absence of mitigating factors, positive feedback of this kind would lead to an explosive and unbounded increase in the concentrations of various proteins. In reality, of course, other factors always come into play, and positive feedback tends to be associated with dynamics that switch the cell from one stable condition to another. For example,upon entering an environment that is sufficiently rich in the sugar lactose, an Escherichia coli bacterium will begin expressing the lac operon, thereby producing a handful of enzymes that allow lactose digestion. The onset of expression takes place through positive feedback. A small molecule related to lactose and known as the "inducer" is the real stimulator of lac expression. Significantly, one of the enzymes that lac expresses, a permease, acts to pump this inducer into the cell. Hence,inside the cell,inducer tends to lead to more permease and permease to more inducer. So, if a few inducer molecules make it into the cell, which happens naturally when lactose concentration reaches a certain threshold on the cell's exterior, this kicks off a process of positive feedback that leads rapidly to a change in gene expression from one state to another. This is a striking example of cell differentiation - a change in the state of a cell that is triggered by a historical event, in this case, by the temporary exposure to an adequate concentration of lactose. Once induced into lac expression, the bacterium will remain in this state even if the concentration of inducer subsequently falls below the threshold required to initiate lac expression in the first place. So the bacterium can exist in either of two stable states - induced or uninduced, corresponding to expression or lack of expression of the lac operon. The cell's condition depends on not only its genes, but its history.

Problèmes mathématiques issus de procédés biologiques de dépollution

2004-02-18

La dépollution biologique consiste à faire digérer par des bactéries certains types de polluants. L'opération se fait dans des "bio-réacteurs" dont il existe des modèles mathématiques sous la forme de systèmes différentiels ordinaires ou d'équations aux dérivées partielles. Un des objectifs des ingénieurs est d'améliorer le rendement de ces procédés ce qui se traduit par des questions mathématiques. Nous aborderons certaines d'entre elles, notamment celles qui ont trait au comportement asymptotique de certains systèmes non linéaire.

Un aperçu sur quelques problèmes de mathématiques de l'assurance

2004-01-28

Espace des génomes : géométrie et signification biologique

2003-12-10

Proteins are formed out of 20 amino-acids which are coded in triplets of nucleotides, called codons. The four nucleotides (A,T,C,G) define 64 codons used in the cell. Codons are not uniformely employed in the cell, but at the contrary, certain codons are preferred and we speak about codon bias. There are several kinds of codon biases and some of them are linked to specific biological functions. Based on some simple mathematical ideas on sequence analysis we can detect dominating codon bias in prokaryotic and eukaryotic organisms of any kind, and define a formal framework to interpret genomic relationships derived from entire genome sequences rather than individual loci. We shall give some intuition underlying some geometrical properties of the space of genes and of the space of organisms, and explain the biological meaning of spatial clustering.

Du calcul différentiel à l'optimisation en 0-1

2003-11-26

Un problème d'optimisation de forme ou d'optimisation topologique revient à chercher la fonction caractéristique du domaine optimal. A première vue, il s'agit d'un problème d'optimisation en 0-1 non différentiable. Mais, on constate que l'on peut utiliser les outils du calcul différentiel si l'on passe de 1 à 0 ou de 0 à 1 dans une région de petite taille.

Si l'on crée un trou de centre x et de rayon epsilon dans un domaine Omega, la variation de la fonction coût J est donnée par

J(Omega \ B(x,epsilon))=J(Omega)+f(epsilon)g(x)+...

la fonction f est explicite, positive et tend vers zéro lorsque epsilon tend vers zéro. Elle est souvent égale au volume du trou créé, mais elle peut avoir d'autre comprotements. La fonction g est facile à calculer et elle permet de construire des algorithmes rapides: on crée des trous là où g est négative.

On présentera des applications de ces méthodes à l'optimisation topologique, à l'imagerie (détection de mines enfouies) et au contrôle bang-bang.

Fractionation in cancer treatment planning

2003-06-19

Un problème d'optimisation lié aux points des courbes sur les corps finis

2003-05-14

Dynamique non-uniformément hyperbolique

2003-04-30

Le solénoïde ou le fer à cheval de Smale sont les objets typiques de la dynamique uniformément hyperbolique étudiée depuis les années 60. Celle-ci requiert fréquemment des contraintes topologiques fortes. Lorsque celles-ci ne sont pas satisfaites, on se trouve fréquemment en présence d'une dynamique plus subtile, qui est non-uniformément hyperbolique. Les objets typiques en sont les attracteurs de type Hénon et les fers à cheval non uniformément hyperboliques, qu'on s'essaiera à décrire tant du point de vue géométrique que probabiliste.

Comparaison de séquences biologiques, méthodes probabilistes versus méthodes déterministes : pour une réconciliation

2003-03-12

Le changement climatique : comment prévoir le climat futur ?

2003-02-06

On dispose à présent de nombreux indices de l'influence de l'activité humaine sur le climat. Il reste néanmoins difficile de séparer sa variabilité naturelle des modifications anthropiques. On présentera les outils et les méthodes utilisées pour comprendre les mécanismes climatiques tenter de prévoir l'évolution future du climat de notre planète.

Symbolic and Hybrid Symbolic-Numeric Algorithms in Maple

2003-01-22

An overview is presented of some of the capabilities of the Maple computer algebra system for solving mathematical problems, including both closed form symbolic solutions and numerical solutions.

For computational linear algebra, a convenient syntax for matrix computations interfaces to algorithms for symbolic linear algebra as well as for numerical linear algebra at hardware floating point speed. Arbitrarily high precision numerical computation is also supported.

For summation, integration and differential equation problems, modern algorithms have been incorporated into Maple for computing closed form symbolic solutions. Techniques include decision procedures, classification into known classes, and symmetry-based methods for DEs.

Numerical solvers which have been incorporated into Maple take full advantage of hardware floating point speed for both IVPs and BVPs, and for definite integrals. Hybrid symbolic-numeric techniques have been developed for handling integrand singularities and for computing integrals to arbitrarily high precision.

Historique de la preuve de la conjecture de Catalan

2002-11-28

En 1844, Eugène Catalan a posé la question suivante : existe-t-il des entiers consécutifs autres que 8 et 9 qui sont tous deux des puissances parfaites ?

Cette question a été résolue cet été par Preda Mihailescu, un mathématicien d'origine roumaine : effectivement, 8 et 9 sont les seules solutions. L'exposé présentera les étapes principales de cette preuve, qui débute en 1850 par un joli résultat de Victor Lebesgue : l'équation diophantienne $x^m-y^2=1$ n'a pas de solutions en nombres entiers $n>2$ et $x$, $y$ tous deux non nuls. Par contre, il a fallu attendre 1965 pour que l'équation $x^2-y^n=1$ soit complétement résolue, par Ko Chao. Pour le cas des exposants impairs, venir à l'exposé.

Polytopes convexes, volumes et nombre de points entiers

2002-11-06

Un chercheur peut-il innover en enseignement des mathématiques ?

2002-06-21

Inspiré par un enseignement de Calcul intégral en Licence d'Ingénierie mathématique, on montre comment il est possible d'innover en enseignement, dans un domaine qui n'est pas lié à son propre domaine de recherches. Cela est illustré par deux exemples : l'évolution du volume de la boule euclidienne unité en fonction de la dimension de l'espace ambiant, et le passage vers la dimension infinie ; la transformée de Fourier au-delà des deux espaces de Lebesgue habituels, celui des fonctions intégrables et celui des fonctions de carré intégrable.

A survey of the Lichtenbaum Conjectures

2002-06-05

Théorie de l'observation déterministe, et applications

2002-06-05

Le problème d'observation est le problème suivant: on se donne un système dynamique (contrôlé ou non), avec une observation partielle de l'état. Il s'agit , (sur la base de l'histoire de l'observation partielle), de reconstruire l'état du système (c'est à dire l'information complète). Ce problème est bien connu dans le cadre linéaire, et est souvent abordé dans un cadre stochastique (problème du filtrage , linéaire ou non linéaire). Dans le cadre linéaire stochastique, c'est le célèbre "filtre de Kalman" qui résoud le problème.

Depuis une dizaine d'année, nous avons développé une théorie complète, dans un cadre purement déterministe, avec un point de vue provenant de la toplogie différentielle et de la théorie des singularités.
Cette théorie est constructive, et peut être utilisée (constructivement) pour contrôler des systèmes partiellement observés. La connexion avec les méthodes du filtrage non linéaire est analysée.

Nous avons eu aussi l'occasion de traiter certaines vraies applications de ces méthodes sur des problèmes non triviaux et non académiques de la chimie du pétrole. Aprés avoir présenté les grandes lignes de cette théorie, je donnerai un de ces exemples.

L'ensemble de ces travaux fait l'objet du livre: JP Gauthier, I Kupka, "Deterministic observation theory and applications", Cambridge University Press, oct 2001.

Multisommabilité et groupes de Galois differentiels

2002-05-21

En un point singulier d'une équation diff\'erentielle les séries entières solutions peuvent être divergentes mais elles ne divergent pas n'importe comment. On étudie sur quelques exemples simples la ``sommation'' de telles séries et on relie ces sommes à la classification analytique des singularités et au groupe de Galois différentiel de l'équation.

La conjecture abc et quelques unes de ses conséquences

2002-04-24

Les solutions d'un problème symétrique sont-elles symétriques ?

2002-03-20

L'etude numerique de certains problemes elliptiques non lineaires fait apparaitre des rutures de symetrie. Les etats fondamentaux de problemes invariants par rotation ne sont pas, en general, invariants par rotation. Toutefois des symetries partielles apparaissent dans certains cas. Ces symetries se deduisent de nouveaux theoremes de rearrangement qui utilisent la notion de polarisation. Cette notion elementaire est utile dans de nombreux domaines des mathematiques.

Actualités de l'infini

2002-02-20

Les mathematiciens grecs de l'epoque classique ont decouvert l'existence de nombres irrationnels. Ils ont releve le defi scientifique que ces nombres representaient en creant une theorie moderne des grandeurs, reposant sur la consideration d'ensembles infinis de nombres. Les logiciens du vingtieme siecle ont affronte une crise analogue, lorsqu'ils ont tente de formaliser la theorie des ensembles et d'etablir qu'elle ne recelait pas de contradiction. Les resultats qu'ils ont obtenu ne sont pas conformes aux attentes optimistes des precurseurs et nous conduisent a faire une distinction entre le vrai et le demontrable. Nous devons faire face, cette fois encore, a l'infini. Nous verrons comment.

Billards dispersifs et théorie cinétique

2002-01-30

Considérons la dynamique d'un gaz de particules parfaitement ponctuelles (donc s'ignorant mutuellement) dans un réseau d'obstacles sphériques sur lesquels elles rebondissent selon la loi de Descartes. A une certaine échelle, il semblerait à première vue que le comportement d'un tel système puisse être décrit par les outils de la théorie cinétique des gaz. (H. Lorentz avait d'ailleurs proposé en 1905 ce type de modèle cinétique pour décrire le mouvement des électrons dans les métaux). Toutefois, dans le cas le plus simple d'un réseau à mailles cubiques, la trop grande abondance de trajectoires sans collisions constitue une obstruction à la description par le modèle cinetique. Ceci découle de techniques simples d'approximation rationnelle --- en particulier de l'usage des fractions continues dans le cas bidimensionnel.

Structure galoisienne des anneaux d'entiers: Résultats anciens et récents

2001-11-28

On rappelle les résultats de structure galoisienne des anneaux d'entiers de corps de nombres et notamment le lien entre l'existence de base normale d'entiers et celle de zéros de certaines fonctions L. On montre comment aborder ces questions dans le contexte des courbes elliptiques et plus généralement dans celui de la géometrie. On terminera en donnant les résultats récents de Chinburg, Taylor et Pappas sur une conjecture de Frohlich en "dimension supérieure".

Experimental Mathematics and Exact Computation

2001-10-24

Partly Random Graphs and "Small World" Networks

2001-05-30

It is almost true that any two people in France are connected by less than six steps from one friend to another. What are models for large graphs with such small diameters ? Outstanding applications would be networks of neurons, or an electric power grid, or even (possibly) the world wide web.

Watts and Strogatz observed (in Nature, June 1998) that a few random edges in a graph could quickly reduce its diameter (longest distance between two nodes). We report on an analysis by Newman and Watts to estimate the diameter with an N-cycle and M random shortcuts, 1 << M << N. For one added edge, a complete analysis of diameter and eigenvalues has interesting results.

We also study a related model, which adds N edges around a second (but now random) cycle. The average distance between pairs becomes nearly A log N + B. The eigenvalues of the adjacency matrix are surprisingly close to an arithmetic progression; for each cycle they would be cosines, the sum changes the spectrum completely.

We will discuss diameters and eigenvalues of the adjacency matrix for partly random graphs. We also report on the surprising eigenvalue distribution for trees (large and growing ) found by Li He and Xiangwei Liu. And a nice work by Jon Kleinberg discusses when the short paths can be located efficiently by a decentralized algorithm -- as on the web.

Analyse Harmonique et Traitement d'Image

2001-03-28

Dans cet exposé, nous ferons le lien entre le developpement récent de méthodes non-linéaires en traitement d'image, et l'appartion d'outils d'analyse harmonique modernes tels que les ondelettes. Nous examinerons plus particulierement les applications au éebruitage et à la compression, ainsi que la modélisation des images par des fonctions à variation bornées.

Albert COHEN est le lauréat du prix Jacques Herbrand, décerné par l'Académie des Sciences. Il a obtenu en 1995 le prix V.A. Popov pour ses travaux en théorie de l'approximation et est depuis 1998 membre de l'Institut Universitaire de France.

L'arbre digital -- Entre informatique discrète et mathématique concrète

2001-02-14

Knuth a montré le premier il y a trente ans toute la richesse de l'analyse d'algorithmes. Partant des algorithmes fondamentaux de l'informatique discrète, il s'agit d'en prédire le comportement quantitatif et d'en réaliser l'optimisation fine. Rien ne prédipose a priori le domaine à être objet de mathématique "intéressante", mais ici encore se manifeste ce que Wigner nomme la "déraisonnable efficacité des mathématiques". On illustrera le phénomène par l'exemple des arbres digitaux qui apparaissent dans des domaines très variés: traitement de grand corpus textuels, bases de données, protocoles de communication, compression de données, calcul formel, etc. La caractérisation des propriétés probabilistes de ces arbres fait intervenir par exemple l'analyse combinatoire, le calcul des probabilités, les équations aux différences, les transformation intégrales, la théorie analytique des nombres, l'analyse asymptotique complexe, ou encore les opérateurs de transfert de l'analyse fonctionnelle. Une compréhension très fine des propriétés de ces arbres voire même de nouveaux algorithmes résultent de cette confrontation fructueuse entre les points de vue mathématiques et informatiques.

En quoi les statistiques peuvent-elles aider à comprendre les génomes

2001-01-17

Depuis ses débuts, la génétique s'est fortement appuyée sur la statistique : c'est en effet la seule science où le hasard entre d'emblée dans la modelisation. L'avalanche de données arrivant aujourd'hui du déchiffrement des séquences d'ADN (20 millions de lettres par jour !) rend encore plus nécessaire l'intervention du statisticien qui, avec ses outils, part a la recherche de comportements "non prévisibles" des séquences obtenues, ce "non prévisible" étant sans doute la marque d'un rôle biologique à mettre en évidence.

Valeurs zeta multiples et polylogarithmes: une conjecture diophantienne

2000-12-15

Le "MondLe "Monde quadratique" et le "Monde convexe" : un mariage inattendu mais heureux

2000-11-22

Differential equations in positive characteristic

2000-10-17

Un problème de Wienberger sur les polynômes

2000-09-15

La phase arabe de l'algèbre (IXe-XVe siècles)

2000-05-31

Absence d'opportunité d arbitrage et théorème fondamental de la finance mathématique

2000-04-05

Analyse p-adique et nombres de Bell

2000-03-30

Quelques aspects du 16-ième problème de Hilbert

2000-03-22

Le "16-ième problème de Hilbert'' comporte deux parties : une premièfre sur la classification topologique des plongemets des courbes algébriquesélles planes lisses de degré 6 (et accessoirement les surfacesrélles lisses de degré 4 dans l'espace projectif RP³).

Cette partie du problème a été résolue par l'école russe : Gudkov (courbes de degré 6), Viro (courbes de degré 7), Kharlamov (surfaces de degré 4), et est ouverte en degrés plus grands.

La secondepartie pose une question analogue pour les cycles limites (trajectoires fermées isolées parmi les cycles) des champs de vecteurs polynomiaux de degr' fixé d. Cette partie est encore largement ouverte, même en degré d = 2.

L'exposé présentera quelques aspects de chacune des ces deux parties.

Économies spatiales et intégration dans les espaces de Banach

2000-02-02

Quelques notions sur les systemes hybrides

2000-01-26

Découverte automatique de théorèmes en géométrie

1999-09-28

Cet exposé présente les développements récents concernant la manipulation automatique de théorèmes en géométrie élémentaire par l'algèbre algorithmique. Au lieu de suivre la démarche classique, qui confirme ou réfute un énoncé géométrique (preuve automatique) ou qui trouve les relations géométriques entre des grandeurs données (dérivation automatique), dans cet exposé nous considérons la question de rendre automatiquement vrai "n'importe quel'' énoncé géométrique (thèse), même lorsqu'il ne peut pas être déduit des hypothèses. Nous présentons une méthode efficace (bien qu'incomplète) de découverte automatique qui, essentiellement, consiste à ajouter une thèse complètement fausse (au choix de l'utilisateur) à la collection des hypothèses et qui déduit certaines conséquences de ce nouvel ensemble de conditions.

Plutôt que de présenter les détails techniques, nous décrivons plusieurs exemples frappants, afin de comprendre les idées simples qui permettent à cette méthode (apparemment) insensée de fonctionner relativement bien. Quelques applications à la conception assistée par ordinateur et à l'enseignement des mathématiques seront discutées, si le temps le permet.

Mathématiques discrètes et sciences sociales

1999-04-28

Les mathématiques discrètes, dont le role est fondamental en informatique, sont aussi très utilisées dans des modélisations, des outils d'analyse et des théories mathématiques en sciences sociales. Après un tour d'horizon de quelques uns des domaines où elles interviennent, on développera un thème transversal autour de la notion de médiane dans les espaces métriques discrets et ses usages de Condorcet à Kemeny en passant par Jordan, Fréchet ou Birkhoff.

Les fonctions d'utilité existent-elles ?

1999-03-17

La théorie microéconomique repose sur l'hypothèse que les consommateurs maximisent leurs fonctions d'utilité sous une contrainte budgétaire. Ce modèle est-il vrai, ou tout au moins faisable ? Dans cet exposé, on montre comment cette question nous entraine dans des problèmes mathématiques ardus, qui ne peuvent être résolus qu'en faisant appel au calcul différentiel exterieur d'Elie Cartan.

Manipulation automatique de fonctions holonomes

1999-03-10

De nombreuses suites et fonctions spéciales sont solutions d'équations différentielles ou aux différences, linéaires et à coefficients polynomiaux. Alors que la recherche de forme close est souvent vouée à l'échec, il est possible de manipuler directement les équations pour en extraire des informations diverses sur les fonctions considérées. L'exposé donnera une introduction aux algorithmes utilisés dans ce domaine.

Utilisation des bases d'ondelettes pour la résolution numérique des EDP

1999-02-03

Jeux répétés et applications

1999-01-06

Fonctions L p-adiques des corps totalement réels

1998-12-16

Question d'existence en théorie non-linéaire des coques

1998-12-02

Langages pour l'informatique : une tentative de conciliation

1998-06-04

Certains langages informatiques, comme Fortran, sont fondés sur la notion d'"état" d'une machine. D'autres, comme Lisp, sur la notion de "fonction". Avec C. Lair nous proposons de concilier ces deux points de vue en utilisant les "esquisses" de C. Ehresmann.

Le but de l'exposé est de présenter les grandes lignes de ce travail dans son contexte historique à partir de quelques exemples.

Sur les minima successifs des anneaux d'entiers

1998-04-08

Nous rendons compte de résultats largement expérimentaux sur les minima successifs de l'anneau des entiers d'un corps de nombres K, muni de la norme euclidienne canonique définie par les plongements complexes de K :

On a constaté dans tous les cas qu'une famille (arbitraire) de représentants des minima constitue une base d'entiers, ce qui fournit alors une base très bien réduite pour les applications à l'algorithmique des corps de nombres (calculs de groupes de classes d'idéaux et d'unités, détermination des extensions relatives de discriminant donné,...

Dans le cas des corps abéliens, on a mis en évidence des relations entre minima et plongement cyclotomique.

Une approche galoisienne des systèmes dynamiques analytiques

1998-03-04

Théorie de Galois différentielle classique. Résultats récents sur les problèmes directs et inverse. Analogies entre singularités essentielles en analyse complexe et ramification sauvage entre arithmétique: la conjecture d'Abyankhar différentielle. Méthodes galoisiennes pour l'étude de l'intégrabilité des systèmes hamiltoniens, avec exemples d'application à des systèmes mécaniques.

Les systèmes de chiffrement à clef publique fondés sur les codes

1998-02-11

Au cours des vingt dernières années, les systèmes de chiffrement à clef publique solides se sont considérablement raréfiés au point de pratiquement se réduire à la seule famille des systèmes fondés sur des problèmes de théorie des nombres. Le fait que la cryptographie à clef publique soit entièrement dépendante d'un seul type de problèmes suscite une grande inquiétude car nul ne peut exclure d'importants progrès dans les techniques de factorisation ou de calcul du logarithme discret. Pour prévenir une telle situation, il est donc indispensable de disposer d'une alternative crédible au RSA. Dans cette perspective, nous nous intéressons à deux systèmes de chiffrement qui reposent sur la difficulté de décoder un code linéaire sans structure visible jusqu'à sa capacité de correction : les systèmes de McEliece et de Niederreiter.

Nous montrerons notamment que, bien que ces deux systèmes offrent la même sécurité, celui proposé par Niederreiter présente un grand nombre d'avantages (clef publique plus petite, meilleur taux de transmission,...). Certains inconvénients rendent parfois l'utilisation de ces systèmes moins agréable que celle du RSA : la taille de leurs clefs publiques est importante et ils ne permettent pas de signer. Toutefois, nous verrons qu'ils sont considérablement plus rapides.

Enfin nous exposerons une attaque de ces systèmes fondée sur un nouvel algorithme de recherche de mots de faible dans un code, et nous en déduirons des conditions sur la structure et les paramètres des codes secrets que ces chiffrements doivent employer pour garantir un niveau de sécurité satisfaisant.

Trois défis pour le calcul scientifique

1998-01-14

Plan :

Historique
Cas des calculs de pollution automobile
Cas des calculs de sureté sur les déchets nucléaires
L'optimisation de forme

Algorithmes probabilistes pour les systèmes linéaires

1997-12-03

Nous étudierons quelques questions relatives à l'utilisation d'algorithmes du type Krylov/Lanczos, pour la résolution de systèmes linéaires Ax=b sur des corps finis. Ces algorithmes, très usuels en analyse numérique, sont moins fréquemment abordés en calcul exact. Ils sont cependant clés, au moins dans deux situations : pour ce qui est de la résolution de grands systèmes creux et pour des aspects théoriques de complexité parallèle. Nous verrons que les versions les plus efficaces sont probabilistes (Las Vegas), nous donnerons une idée des preuves correspondantes pour des versions scalaires et par blocs. Nous discuterons pour terminer, d'ouvertures possibles vers des versions déterministes aussi rapides.

Méthodes d'approximation et solutions de viscosité en analyse variationnelle et optimisation

1997-11-05

De nombreux problèmes en analyse variationnelle et optimisation possèdent plusieurs, et souvent un grand nombre, de solutions optimales. L'idée de base est de sélectionner une solution particulière du problème considéré, en l'obtenant comme limite d'une trajectoire de solutions optimales de problèmes approchés bien (ou seulement mieux) posés. L'exemple modèle est l'approximation par viscosité (encore appelée, suivant le contexte, régularisation elliptique ou approximation de Tikhonov), qui est a l'origine du nom générique donné à de telles solutions, à savoir solutions de viscosité. Ces solutions possèdent souvent des propriétés physiques, géométriques,... ou économiques (suivant l'origine du problème) remarquables. Dans des travaux récents, ce phénomène de sélection de solutions particulières, a été mis en évidence pour plusieurs autres types d'approximation :

L'approximation par la méthode barrière logarithmique en programmation mathématique linéaire permet d'atteindre le centre analytique de la face optimale.
L'approximation L^p de problèmes d'optimisation ou variationnels dans L¹ ou L^oo permet, selon le cas, de sélectionner une solution qui se caractérise par un critère entropique (application à la notion de médiane naturelle en statistiques, pour p=1) ou, comme solution de viscosité au sens de Crandall-Lions d'une équation de Hamilton-Jacobi non linéaire très dégénérée (pour p=oo).

Ces méthodes présentent en outre un grand intérêt sur le plan numérique qui sera évoqué.