L’équipe Théorie des Nombres (TN) se consacre à des problèmes relevant de la K-théorie arithmétique, de problèmes de Galois à la fois finis et infinis, du p-adique et des entiers friables.

Les thématiques de recherche :

• Théorie d’Iwasawa, K-théorie arithmétique : depuis les travaux de Voevodsky, la relation entre la K-théorie et la théorie des nombres est mieux comprise. Dans un travail récent, l’équipe a utilisé ces résultats pour obtenir des formules de genres à la Chevalley pour les K-groupes pairs des anneaux d’entiers des corps de nombres où les unités sont remplacées par des K-groupes impairs. Comme résultat annexe, nous répondons à une question posée par B. Kahn concernant l’image d'une certaine application de signature.
• Groupes de Galois des trinômes : en explorant les conséquences de la classification des groupes finis simples, W. Feit a donné la liste des groupes non-résolubles susceptibles de se réaliser comme groupe de Galois sur Q d’un trinôme irréductible de degré premier. A partir de cette liste, l’équipe de théorie des nombres qui est l’une des plus en pointe sur le sujet, a étudié le groupe de Galois sur Q de certains trinômes, notamment ceux du type d'Eisenstein.
• Analyse p-adique : le formalisme des équations différentielles p-adiques mis au point d'abord par B. Dwork peut être interprété au moyen du calcul ombral "classique" de Rota et ses collaborateurs. Les travaux de l’équipe ont permis d’étendre ce calcul à des types plus généraux d'équations fonctionnelles dans un article "Umbral calculus in Ore extensions" (2020). Nous cherchons par ailleurs à adapter la formule de Gross-Koblitz à des sommes d'exponentielles plus générales que les classiques sommes de Gauss.
• Théorie analytique dans ses aspects classiques : étude asymptotique et effective des fonctions arithmétiques notamment l’étude de la structure des entiers friables, et ses applications.

Programmes de recherche nationaux et internationaux :

• L’équipe Théorie des Nombres est rattachée au Groupement de Recherche (GDR 2251) : Jeunes Chercheuses et Jeunes Chercheurs en Arithmétique (JC2A). 6 https://gdrjc2a.math.cnrs.fr