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Algorithmique des équations différentielles matricielles et applications.

EL BACHA Carole
Résumé : 

Le thème général de cette thèse est le développement et l'utilisation de nouvelles méthodes algébriques pour la résolution effective d'une classe importante des équations différentielles et aux différences à coeffcients matriciels variables et d'ordre arbitraire. De telles équations ont des applications dans de nombreuses disciplines scientifiques comme la chimie, la mécanique ou encore en théorie du contrôle. Dans un premier temps, on s'intéressera à l'analyse locale au voisinage d'une singu- larité : déterminer la nature de la singularité, calculer des invariants formels (invari- ants de Katz, polygone de Newton) et construire effectivement les solutions formelles. L'accent sera mis sur le développement d'algorithmes directs, i.e., sans se ramener à un système de premier ordre et faire augmenter la dimension de l'espace de travail. Notre approche est basée sur l'utilisation des propriétés des polynômes matriciels qui joueront le même rôle que les polynômes indiciels et caractéristiques dans le cas scalaire. Ensuite, en se basant sur l'étude effectuée ci-dessus, on s'intéressera à une étude globale en proposant des algorithmes pour le calcul de solutions sous forme close (e.g., polynomiales, rationnelles, exponentielles) ou encore pour la factorisation. On implémentera nos divers algorithmes dans un logiciel de calcul formel et on les étudiera du point de vue compléxité. On traitera également quelques applications de ces algorithmes pour l'étude de problèmes concrets où de tels systèmes apparaissent. Enfin, on proposera une généralisation de ces résultats au cas des systèmes aux différences linéaires.