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Calcul effectif de la topologie de courbes et surfaces algébriques réelles

DIATTA Daouda Niang
Résumé : 

La méthode la plus connue pour la décomposition d'ensembles algébriques et semi-algébriques réels est la décomposition cylindrique algébrique. Cette décomposition très fine est obtenue à partir de graphe de fonctions, en projetant successivement sur des espaces de dimension plus petite. Ce processus est souvent bien trop coûteux en moyen de calcul pour être mis en oeuvre effectivement car il fournit beaucoup plus d'information sur l'ensemble décomposé, que ce que l'on veut vraiment calculer. Une autre famille de décomposition est donnée par des stratifications, comme celles de Whitney. Celles-ci permettent de décomposer une variété suivant ses singularités et fournissent des informations plus géométriques, indépendantes du repère choisi. L'objectif de cette thèse est d´étudier des méthodes algorithmiques permettant de calculer une telles stratifications d'un ensemble algébrique. Nous nous intéresserons aussi à l'arrangement de ces strates, ce qui revient à calculer la topologie de la variété. Des travaux récents ont portés sur le calcul certifié de la topologie de courbes et de surfaces en dimension 2 ou 3. Nous voulons étendre ces approches à des problèmes en dimension plus grande, comme par exemple le calcul de la topologie de courbes d´intersection de surfaces paramétrées qui se situe en dimension 4. Les algorithmes existants en petite dimension sont basés sur les propriétés des sous-résultants et fournissent des méthodes efficaces et certifiées pour le calcul d'une stratification de Whitney. Ces problèmes sont importants en modélisation géométrique pour la C.A.O. et dans cette optique, certaines opérations sur ces objets (intersection de surfaces paramétrées, construction d'offsets,...) conduisent à ces généralisations. Un des objectifs de la thèse sera donc d´analyser ces propriétés en (co)-dimension plus grande, afin de les adapter à un cadre général. Pour atteindre cet objectif, on se basera sur des résultats récents sur les sous-résultants pour essayer de généraliser des résultats connus dans le cas des surfaces en dimension 3. Nous considérons également, les aspects algorithmiques et en particulier des méthodes efficaces de calcul de résultants et sous-résultants. En perspective de ce travail, on trouve les problèmes d'optimisation semi-algébriques pour lesquels la stratification de Whitney est un outil ayant un fort potentiel pour rendre les méthodes de calcul effectives. Une autre perspective est l'exploitation des sous-résultants pour la représentation géométrique d?ensembles algébriques dans le cas non radical. Enfin, l'utilisation de différentes famille de résultants en plusieurs variables pourra également être considérée.