L’équipe « Calcul Formel » développe de nouvelles méthodes de calcul permettant d’obtenir des représentations symboliques exactes et des informations qualitatives et quantitatives certifiées pour les solutions d’équations différentielles, polynomiales et plus généralement, fonctionnelles. Ses résultats théoriques et algorithmiques sont intégrés dans des réalisations logicielles qui viennent compléter les « solvers » déjà existants pour la modélisation et la résolution concrète de problèmes scientifiques.

Les thématiques de recherche :

Équations différentielles et fonctionnelles

Notre équipe a une expertise bien établie non seulement sur les systèmes différentiels linéaires, mais aussi sur les champs plus larges des systèmes fonctionnels (e.g., aux (q)-différences, de Ore, EDP) et des systèmes non-linéaires. Son travail vise à maîtriser les deux bouts de la chaine « théorie abstraite — applications et implantation fine » et de ce fait, elle contribue à établir des liens entre théoriciens et algorithmiciens.

• Systèmes différentiels/fonctionnels linéaires.
• Analyse algébrique effective et systèmes multidimensionnels.
• Ouverture vers le non-linéaire et applications.
• Équations différentielles p-adiques.

Calcul symbolique-numérique

La résolution concrète de problèmes issus de diverses applications nécessite souvent des traitements à la fois symboliques et numériques ; c’est le cas, par exemple, de la paramétrisation de frontières en optimisation de formes, où du calcul des développements en séries de fonctions algébriques. Dans cet esprit, trois axes sont abordés par notre équipe.

• Calculs avec des fonctions algébriques.
• Algèbre linéaire numérique, études des matrices structurées et applications.
• Géométrie algébrique effective.
• Opérations sur les p-adiques.

Logiciels :

• Les packages Maple et Mathemagix suivants ont été réalisés dans le cadre du thème Systèmes différentiels/fonctionnels linéaires :
• ParamInt et PfaffInt (systèmes différentiels matriciels, systèmes différentiels singulièrement perturbés et réduction formelle d'EDP),
• IntegrableConnections (solutions globales de systèmes d'EDP D-finies),
• AppSing (désingularisation de systèmes différentiels et de Ore),
• miniISOLDE et Lindalg (algorithmique et résolution symbolique de systèmes fonctionnels, différentiels ou aux (q)-différences),
• TensorConstructions (théorie de Galois effective par les constructions tensorielles et formes réduites).

Programmes de recherche nationaux et internationaux :

• COMUE Léonard de Vinci/fédération MIRES : LIE-GALOIS, GEOM-ALG, SATIN et MSDOS
• Projets PEPS : SADDLES et HOLONOMIX
• Projets ANR : MSDOS (https://anr.fr/Projet-ANR-13-BS03-0005)