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Analyse des problèmes unilatéraux convexes et non-convexes : Résultats d'existence et de stabilité

ADLY Samir
Abstract: 

Les travaux de recherche présentés dans le mémoire peuvent-être regroupés en cinq thématiques : - Problèmes unilatéraux semi-coercifs : résultats d'existence de solutions et de stabilité par rapport à une perturbation uniforme; - Analyse numérique des inéquations variationnelles semi-coercives; - Etude des problèmes aux valeurs propres, résultats d'existence et de multiplicité de solution pour les problèmes unilatéraux non-convexes; - Etude de la stabilité au sens de Lyapounov des inéquations variationnelles d'évolution; - Etude des méthodes itératives et analyse de sensibilité des inéquations variationnelles. Dans la première partie nous nous intéressons principalement à la stabilité (par rapport à une perturbation uniforme des données du problème) de l'ensemble des solutions d'une inéquation variationnelle gouvernée par un opérateur semi-coercif . Dans la seconde partie, nous présentons des résultats de convergence pour l'approximation d'une large classe d'inéquations variationnelles semi-coercives. Notre approche est basée sur une combinaison de la méthode de Galerkin avec une régularisation de type Tychonov afin de rendre le problème approché bien posé. La troisième partie consiste à étudier des systèmes hamiltoniens non-autonomes du second ordre engendrés par un sur-potentiel localement Lipchitz et avec conditions aux limites périodiques. La difficulté principale réside dans le fait que le potentiel associé est non-convexe et non-différentiable. Notre approche est basée sur la théorie des points critiques de Chang pour les fonctions localement Lipschitz. Nous nous sommes aussi intéressé à l'étude qualitative de problèmes aux valeurs propres associées à une inéquation variationnelle hémi-variationnelle. Dans la quatrième partie, nous avons développé un principe d'invariance de LaSalle pour les systèmes dynamiques non-réguliers. Nous avons présenté quelques résultats de stabilité (au sens de Lyapounov) et d'attractivité de l'ensemble des solutions stationnaires d'une classe d'inclusions différentielles du second ordre. Nous avons ensuite mis en exergue l'utilité de ces résultats pour un certain nombre de problèmes de la mécanique unilatérale. La dernière partie porte sur l'étude de méthodes itératives de type proximale pour les inéquations variationnelles ainsi que l'analyse de sensibilité d'inclusion variationnelle paramétrique associée.