Le domaine des équations différentielles p-adiques (p-DE) est né, il y a environ soixante ans, à travers les travaux fondateurs de Dwork sur les fonctions zétas de variétés algébriques sur les corps finis. Définis sur des corps p-adiques, les équations différentielles p-adiques fournissent un lien unique entre le monde des mathématiques discrètes (les corps finis) et le monde des mathématiques continues (dérivabilité, analyticité). Elles ont engendré des applications variées en théorie de Hodge p-adique, en l'étude de cohomologie p-adiques ou en déformation de fonctions zéta p-adiques. Le dernier point a fourni la matière pour l'algorithme de comptage de points de Lauder pour certaines variétés algébriques sur les corps finis. Ces dernières années, d'autres applications aux calculs effectifs sur les équations différentielles p-adiques sont apparus : calcul de produits composés ou calcul d'isogénies entre courbes elliptiques. Néanmoins, toutes ces applications n'étaient chacune qu'une famille très précise d'équations différentielles (ordre 1, à variable séparable,...). Cette thèse s'intéresse à une approche générale pour les calculs effectifs liés aux équations différentielles p-adiques. On s'intéressera notamment : * à l'évaluation efficace des solutions d'une équation différentielle p-adique, notamment aux points singuliers réguliers ; * au calcul effectif des rayons de convergence de ces solutions ; * à la résolution effective de système A-hypergéométriques dont il est connu qu'ils sont liés au suivi des solutions lors d'une déformation. L'objectif final sera de suivre de manière effective les racines de systèmes polymôniaux lors d'une déformation, avec pour but d'utiliser ces méthodes pour la résolution effective de systèmes polymôniaux. Tous ces développements devront être implantés puis intégrés à Sagemath, le logiciel de calcul formel de référence concernant les calculs avec les nombres p-adiques.